positive definite / negative definite / indefinite

이차형식 는

 모든 에 대하여 이면 양의 정부호(positive definite),

 모든 에 대하여 이면 음의 정부호(negative definite),

 x에 따라서 가 양과 음의 값을 가지면 부정부호(indefinite)라고 한다.

 이 정의의 용어는 행렬 A에도 적용된다. 즉 대칭행렬 A는 관련된 이차형식 가 갖는 위의 조건에 따라 양의 정부호, 음의 정부호, 또는 부정부호라고 한다.

 다음 정리는 행렬 A와 이에 의한 이차형식 가 양의 정부호, 음의 정부호, 또는 부정부호인지 결정할 때 고유값을 사용하는 방법을 제공한다.

(정리) A가 대칭행렬일 때

 (a) 가 양의 정부호이기 위한 필요충분조건은 A의 모든 고유값이 양의 실수인 것이다.

 (b) 가 음의 정부호이기 위한 필요충분조건은 A의 모든 고유값이 음의 실수인 것이다.

 (c) 가 부정부호기이 위한 필요충분조건은 A가 적어도 하나의 양의 고유값과 적어도 하나의 음의 고유값을 갖는 것이다.

(a)와 (b)의 증명 주축정리에 의하여

            (2)

을 만족시키는 직교변수변환 x=Py가 존재한다. 더욱이 P의 가역성에 의하여 이기 위한 필요충분조건은 이므로, 에 대한 의 값은 에 대한 의 값과 같다. 따라서 (1)에 의하여 에 대하여 이기 위한 필요충분조건은 방정식 (2)의 모든 λ(A의 고유값)가 양의 실수인 것이고, 에 대하여 이기 위한 필요충분조건은 모든 고유값이 음의 실수인 것이다. 이로써 (a)와 (b)가 증명되었다.

[출처] 극분해(Polar Decomposition)|작성자 JamesKim