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A가 계수(rank) k인 행렬이면, A는

         (3)

와 같이 인수분해될 수 있다. 여기서 P는 계수가 k인  양의 반정부호행렬이고, Q는  직교행렬이다. 더욱이 만일 A가 가역행렬(계수 n)이면, P는 양의 정부호행렬인 (3)형의 인수분해가 존재한다.

 A의 특이값분해를

와 같이 고쳐쓰면 행렬 는 직교행렬의 곱이므로 직교행렬이다. 그리고 행렬 는 대칭행렬이다. 또한 행렬 Σ와 는 서로 직교적으로 닮았으므로, 그들의 계수와 고유값은 같다. 따라서 P의 계수는 k가 되고 그것의 고유값은 음이 아니다(이것은 Σ에 대해서 성립하므로). 따라서 P는 계수가 k인 양의 반정부호행렬이 된다. 더욱이 만일 A가 가역행렬이면, Σ의 대각선위에는 영이 존재하지 않는다. 따라서 P의 고유값은 양의 실수이고 P는 양의 정부호행렬이 된다.

 여기서 행렬 P는 변형의 확장과 압축효과(scaling)을 나타내고, 행렬 Q는 비틀림(반사와 함께)을 나타낸다.

 행렬

의 극분해를 구해보자. 행렬 A를 특이값분해하면

이 되므로

과

을 얻는다. 따라서 A의 극분해는

이 된다. 어떤 변수 x가 A에 의해 곱해진다는 것은 Q가 곱해지고 P가 곱해지는 것을 의미하는데, Q는 직교행렬이고

과 같다. 이는 원점에 대한 회전을 의미하며 P의 경우, 회전된 두 개의 열벡터를 의 단위고유벡터 의 방향으로 배 확장하고 의 방향으로 배 확장하는 것을 뜻한다.

이차형식 는

 모든 에 대하여 이면 양의 정부호(positive definite),

 모든 에 대하여 이면 음의 정부호(negative definite),

 x에 따라서 가 양과 음의 값을 가지면 부정부호(indefinite)라고 한다.

 이 정의의 용어는 행렬 A에도 적용된다. 즉 대칭행렬 A는 관련된 이차형식 가 갖는 위의 조건에 따라 양의 정부호, 음의 정부호, 또는 부정부호라고 한다.

 다음 정리는 행렬 A와 이에 의한 이차형식 가 양의 정부호, 음의 정부호, 또는 부정부호인지 결정할 때 고유값을 사용하는 방법을 제공한다.

(정리) A가 대칭행렬일 때

 (a) 가 양의 정부호이기 위한 필요충분조건은 A의 모든 고유값이 양의 실수인 것이다.

 (b) 가 음의 정부호이기 위한 필요충분조건은 A의 모든 고유값이 음의 실수인 것이다.

 (c) 가 부정부호기이 위한 필요충분조건은 A가 적어도 하나의 양의 고유값과 적어도 하나의 음의 고유값을 갖는 것이다.

(a)와 (b)의 증명 주축정리에 의하여

            (2)

을 만족시키는 직교변수변환 x=Py가 존재한다. 더욱이 P의 가역성에 의하여 이기 위한 필요충분조건은 이므로, 에 대한 의 값은 에 대한 의 값과 같다. 따라서 (1)에 의하여 에 대하여 이기 위한 필요충분조건은 방정식 (2)의 모든 λ(A의 고유값)가 양의 실수인 것이고, 에 대하여 이기 위한 필요충분조건은 모든 고유값이 음의 실수인 것이다. 이로써 (a)와 (b)가 증명되었다.