Polar decomposition

A가 계수(rank) k인 행렬이면, A는

         (3)

와 같이 인수분해될 수 있다. 여기서 P는 계수가 k인  양의 반정부호행렬이고, Q는  직교행렬이다. 더욱이 만일 A가 가역행렬(계수 n)이면, P는 양의 정부호행렬인 (3)형의 인수분해가 존재한다.

 A의 특이값분해를

        

와 같이 고쳐쓰면 행렬 는 직교행렬의 곱이므로 직교행렬이다. 그리고 행렬 는 대칭행렬이다. 또한 행렬 Σ와 는 서로 직교적으로 닮았으므로, 그들의 계수와 고유값은 같다. 따라서 P의 계수는 k가 되고 그것의 고유값은 음이 아니다(이것은 Σ에 대해서 성립하므로). 따라서 P는 계수가 k인 양의 반정부호행렬이 된다. 더욱이 만일 A가 가역행렬이면, Σ의 대각선위에는 영이 존재하지 않는다. 따라서 P의 고유값은 양의 실수이고 P는 양의 정부호행렬이 된다.

 여기서 행렬 P는 변형의 확장과 압축효과(scaling)을 나타내고, 행렬 Q는 비틀림(반사와 함께)을 나타낸다.

 행렬

        

의 극분해를 구해보자. 행렬 A를 특이값분해하면

        

이 되므로

        

과

        

을 얻는다. 따라서 A의 극분해는

        

이 된다. 어떤 변수 x가 A에 의해 곱해진다는 것은 Q가 곱해지고 P가 곱해지는 것을 의미하는데, Q는 직교행렬이고

        

과 같다. 이는 원점에 대한 회전을 의미하며 P의 경우, 회전된 두 개의 열벡터를 의 단위고유벡터 의 방향으로 배 확장하고 의 방향으로 배 확장하는 것을 뜻한다.

[출처] 극분해(Polar Decomposition)|작성자 JamesKim

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